DEFINICIÓN.

Una elipse es la definición de todos los puntos P en un plano, tales que la suma de la distancia de P a dos fijos F' y F sobre el plano constante.

Cada uno de los puntos fijos  se llama foco. Los extremos de una cuerda se aseguran en los focos F' y . Con forme se mueve el lápiz en P, con la cuerda tensa la curva que se traza es una elipse. 

FÓRMULAS.

Para encontrar la ecuación de una elipse, el origen de coordenadas se coloca a la mitad, entre los focos y un eje coordenado sobre la recta que pasa por los focos. La distancia entre los focos se representa con 2c y, en consecuencia, los focos se denominan F'(-c,0)  y  F(c,0). Ahora, si se hace que la suma de distancias de un punto P (x, y) de la elipse a los focos, sea 2a, se obtiene:

 Al trasponer el segundo radical, elevar al cuadrado y simplificar, se obtiene

Al elevar de nuevo al cuadrado y simplificar, se encuentra que

Si se toman los focos de una elipse sobre el eje y en (0, -c) y (0, c) es posible obtener la ecuación

A partir de la definición elipse, que sus puntos no se alejan indefinidamente de sus focos. El hecho de que una elipse tenga extención limitada puede deducirse de su ecuación. Así, despejando x y y, una por una en la ecuación se obtiene 

Estas ecuaciones revelan que y2 no puede exceder a b2 y que x2 no puede exceder a a2. En otras palabras los valores permisibles son 

PROPIEDAD FOCO- DIRECTRIZ DE UNA ELIPSE.

Al deducir la ecuación de una elipse se llega a la ecuación

Esta ecuación implica la existencia de una directriz que es evidente después de una pequeña modificación. Así, dividiendo entre -a y factorizando el miembro de la derecha se obtiene

Teorema 

Una elipse es el conjunto de puntos en el plano tal que la distancia de cada punto del conjunto al punto fijo del plano es igual a la constante (entre 0 y 1) por su distancia a una recta fija del plano.

ELIPSE CON CENTRO (h, k)

Si loa ejes de la elipse son paralelos a los ejes coordenados y el centro esta en (h, k) se puede obtener su ecuación aplicando formulas de traslación de la sección 2.8. Se traza un nuevo par de ejes coordenados a lo largo de los ejes de la elipse.

La ecuación de la elipse referida a los nuevos ejes es

Las sustituciones x'= x- h   y   y'= y- k conduce a 

De manera análoga, cuando el eje mayor es paralelo al eje y, se obtiene 

Fuller, G y Tarwater, D. (1995). Geometria analítica. Obtenido de https://geometriaunicaes.files.wordpress.com/2012/04/geometria-analitica-7-ed.pdf 

TALLER DE COMPETENCIAS 

Moreno, V. y Restrepo, M. (2008) Alfa 10. Obtenido  de: https://books.google.com.co/books?id=auOvPFEjXDMC&pg=PA179&lpg=PA179&dq=pasatiempos+elipse&source=bl&ots=-XRO1z_rFp&sig=PKfOH6Od7QaoNT-_HtehmwLgpBE&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwiPxuGjxoLYAhWhQ98KHfMoApwQ6AEIOTAG#v=onepage&q=pasatiempos%20elipse&f=false