DEFINICIÓN.

Una elipse es la definición de todos los puntos P en un plano, tales que la suma de la distancia de P a dos fijos F' y F sobre el plano constante.

Cada uno de los puntos fijos  se llama foco. Los extremos de una cuerda se aseguran en los focos F' y . Con forme se mueve el lápiz en P, con la cuerda tensa la curva que se traza es una elipse. 

FÓRMULAS.

Para encontrar la ecuación de una elipse, el origen de coordenadas se coloca a la mitad, entre los focos y un eje coordenado sobre la recta que pasa por los focos. La distancia entre los focos se representa con 2c y, en consecuencia, los focos se denominan F'(-c,0)  y  F(c,0). Ahora, si se hace que la suma de distancias de un punto P (x, y) de la elipse a los focos, sea 2a, se obtiene:

 Al trasponer el segundo radical, elevar al cuadrado y simplificar, se obtiene

Al elevar de nuevo al cuadrado y simplificar, se encuentra que

Si se toman los focos de una elipse sobre el eje y en (0, -c) y (0, c) es posible obtener la ecuación

A partir de la definición elipse, que sus puntos no se alejan indefinidamente de sus focos. El hecho de que una elipse tenga extención limitada puede deducirse de su ecuación. Así, despejando x y y, una por una en la ecuación se obtiene 

Estas ecuaciones revelan que y2 no puede exceder a b2 y que x2 no puede exceder a a2. En otras palabras los valores permisibles son 

PROPIEDAD FOCO- DIRECTRIZ DE UNA ELIPSE.

Al deducir la ecuación de una elipse se llega a la ecuación

Esta ecuación implica la existencia de una directriz que es evidente después de una pequeña modificación. Así, dividiendo entre -a y factorizando el miembro de la derecha se obtiene

Teorema 

Una elipse es el conjunto de puntos en el plano tal que la distancia de cada punto del conjunto al punto fijo del plano es igual a la constante (entre 0 y 1) por su distancia a una recta fija del plano.

ELIPSE CON CENTRO (h, k)

Si loa ejes de la elipse son paralelos a los ejes coordenados y el centro esta en (h, k) se puede obtener su ecuación aplicando formulas de traslación de la sección 2.8. Se traza un nuevo par de ejes coordenados a lo largo de los ejes de la elipse.

La ecuación de la elipse referida a los nuevos ejes es

Las sustituciones x'= x- h   y   y'= y- k conduce a 

De manera análoga, cuando el eje mayor es paralelo al eje y, se obtiene 

Fuller, G y Tarwater, D. (1995). Geometria analítica. Obtenido de https://geometriaunicaes.files.wordpress.com/2012/04/geometria-analitica-7-ed.pdf 

TALLER DE COMPETENCIAS 

Moreno, V. y Restrepo, M. (2008) Alfa 10. Obtenido  de: https://books.google.com.co/books?id=auOvPFEjXDMC&pg=PA179&lpg=PA179&dq=pasatiempos+elipse&source=bl&ots=-XRO1z_rFp&sig=PKfOH6Od7QaoNT-_HtehmwLgpBE&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwiPxuGjxoLYAhWhQ98KHfMoApwQ6AEIOTAG#v=onepage&q=pasatiempos%20elipse&f=false

DEFINICIÓN.

Se conoce como hipérbola como al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, es una constante.

La distancia entre dos vértices de la hipérbola se llama eje transverso (eje real de la hipérbola), y el segmento perpendicular en el punto medio del eje trasverso o real se llama eje conjugado (eje imaginario).

El punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola.

La longitud del eje transverso (distancia entre los dos vértices) se identifica como: 2a.

La longitud del eje conjugado mediante: 2b 

La distancia entre los focos: 2c

Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se vera que únicamente corta al eje real) se llaman vértices de la hipérbola. 

Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos.

A diferencia de la elipse, aquí se tiene 2c > 2a (por tanto c > a ) y se puede considerar que: 

Este valor se llama semieje imaginario (o conjugado) de la hipérbole.

En cada hipérbola, los parámetros a, b, c están relacionados por:

En este cociente debe ser un numero mayor que 1,
se llama excentricidad de la Hipérbola.

En la siguiente figura se observa la gráfica real de una hipérbola con eje real en X.

Alvarez, J. Unidad 6, la hipérbola. Obtenido de: http://cvonline.uaeh.edu.mx/Cursos/BV/L0703/Unidad%206/63_lec_la_hiperbola.pdf

FÓRMULAS.

La ecuación de la hipérbola se puede expresar cuando su centro es O= (o₁,o₂) como:

Si la hipérbola tiene su centro en el origen O= (0, 0), su ecuación es:

Ademas, los puntos de una hipérbola son los cumplen la ecuación general de la hipérbola:

siendo A, B, C, D y E escalares y necesariamente debe cumplir que los coeficientes de x² e y² (A y C) son no nulos y tienen diferente signo. 

Las ecuaciones de las asíntotas se pueden obtener si se conocen el semejante real (a) y el semejante imaginario (b).

Universo de formulas. Obtenido de: http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/hiperbola/

¡PON A PRUEBA TU INGENIO!

Teniendo en cuenta la información anterior soluciona el siguiente cruciletras.  

Historia de la Geometría Analítica

La Parábola conceptos básicos

Ejercicios con Parábola

Elementos básicos de un círculo

 

Ejemplos del círculo

Concepto y elementos de la Elipse 

Ejercicio con Elipse

Concepto de Hipérbola y sus elementos

Ejercicios con Hipérbola

Lucia. (6 de Noviembre de 2015). Historia de la Geometría Analítica. Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=n0-QrYCyqEs&feature=youtu.be

Concepto de hipérbola y sus elementos. (28 de Octubre de 2011). Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=yBTdSYYUHow&feature=youtu.be

Alex. (27 de Agosto de 2016). LA PARÁBOLA Concéptos básicos. Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=FlsYCYbmJGU&feature=youtu.be

Julio. (9 de Diciembre de 2009). Ejercicio 1 de ELIPSE (Parte 1). Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=849ryoz3LaU&feature=youtu.be

Julio. (12 de Octubre de 2010). PERÍMETRO Y ÁREA DE UN CÍRCULO. Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=KTzyfHvsEdc&feature=youtu.be

Lucia. (6 de Noviembre de 2015). Historia de la Geometría Analítica. Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=n0-QrYCyqEs

Math, L. (30 de Abril de 2011). Elementos básicos de un círculo. Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=7xzv9HPP2Wg&feature=youtu.be

math2me. (16 de Agosto de 2010). Concepto y elementos de la elipse. Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=jVTZITljKUE&feature=youtu.be

Profe, J. (9 de Junio de 2012). Ejercicio 1 de PARÁBOLA. Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=N8WhvRJbGC8&feature=youtu.be

Un paso importante en la geometría analítica lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra.

Descartes fue el pensador más capaz de su época, pero en el fondo no era realmente un matemático. Sin embargo fue considerado uno de los personajes más importantes de la geografía analítica gracias a su desempeño y dedicación para el desarrollo intelectual algebraico.

En 1635 publicó un libro sobre la teoría de ecuaciones, incluyendo su regla de los signos para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Unas cuantas décadas más tarde, el físico y matemático inglés Isaac Newton descubrió un método iterativo para encontrar las raíces de ecuaciones. Hoy se denomina método Newton-Raphson, y el método iterativo de Herón. Tuvo la inspiración para sus estudios de Matemáticas en tres sueños en la noche del 10 de Noviembre de 1619. Introdujo el sistema de referencia que actualmente conocemos como coordenadas cartesianas. Este nombre deriva de la forma latina de su apellido: Cartesius.

Tales de Mileto: Siglo VII A. C. Representa los comienzos de la Geometría como ciencia racional. Fue uno de los "siete sabios" y fundador de la escuela jónica a la que pertenecieron Anaximandro, Anaxágoras, etc. En su edad madura, se dedicó al estudio de la Filosofía y de las Ciencias especialmente la Geometría.

Euclides: Siglo IV A. C. Escribió una de las obras más famosas de todos los tiempos: los "Elementos", que consta de 13 capítulos llamados "libros"

Euclides construye la Geometría partiendo de definiciones,  postulados y axiomas con los cuales demuestra teoremas que, a su vez, le sirven para demostrar otros teoremas.

Platón: Siglo IV A. C. En la primera mitad de este siglo, se inició en Atenas un movimiento científico a través de la Academia de Platón. Para él, la matemática no tiene finalidad práctica sino simplemente se cultiva con el único fin de conocer. Por esta razón, se opuso a las aplicaciones de la Geometría. Dividió la Geometría en elemental y superior. La Geometría elemental comprendía todos los problemas que se podían resolver con regla y compás. La Geometría superior estudiaba los tres problemas más famosos de la Geometría antigua no resolubles con la regla y el compás.

Vazquez, J. (s.f.). "Geometria Analitíca". Obtenido de http://jocelyn-geometrianaliticajocelyn.blogspot.com.co/2011/12/grandes-personajes-de-las-matematicas.html

Baldor, J. A. (2004). Geometría plana y del Espacio y Trigonometría. Obtenido de file:///C:/Users/Sistema/Desktop/Tercer%20Semestre/GEOMETRIA%20PLANA/baldor-trigonometria-cada.pdf

APOLONIO  DE PERGAMO 

(Apolonio de Perga o Perge; 262 a. C.- 180 a. C. ). Matemático griego. Conocido con el sobrenombre de el gran geómetra, sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones de cónicas y de las curvas planas y la cuadratura de sus áreas. Acuño los términos elipse, hipérbola y parábola, que responde a la respectivas propiedades matemáticas de estas tres funciones. también explico el movimiento de los planetas según la teoría de epiciclos.

Apolonio hizo con respecto a las figuras cónicas lo que Euclides había hecho un siglo antes en cuanto al circulo, y fue el quien dio las secciones del cono las denominaciones todavía en uso: parábola, hipérbola y elipse.Aunque solo cuatro de los ocho libros de que estaba compuesto hayan llegado a nosotros en la lengua original, el tratado es tan completo que habían de pasar siglos antes de que pudiera añadirse algo sobre el tema. 

En conjunto, los libros sobre las cónicas pueden considerarse como una introducción a la geometría superior, porque en ellos encontramos nociones modernisimas como son los principios de la teoría de las polares o de la generación de una cónica mediante haces de rayos proyectados (teorema de Steiner).

La importancia de las cónicas en el sistema universal creció mucho con el descubrimiento de Kepler, según el cual las órbitas planetarias son elípticas, ocupando el sol uno de los focos de la elipse. La obra de Apolonio, al reexaminarse hace tres siglos, dio origen a un gran desenvolvimiento de la geometría moderna.

Obtenido de: Biografías y vidas. https://www.biografiasyvidas.com/biografia/a/apolonio_de_pergamo.htm

El círculo  es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores de la misma, se entiende como círculo a aquella figura geométrica que consta de una forma establecida a partir de una línea curva cerrada. El círculo cuenta con una característica principal que es que todos los puntos que se establecen desde su centro tienen la misma distancia hacia la línea que sirve de perímetro, es decir que son equidistantes.

El círculo es una de las figuras geométricas más básicas en torno de la cual se arman otras figuras, por ejemplo el cono. Es la única que no posee ninguna línea recta como determinante y por lo tanto los ángulos que se pueden establecer dentro de él requieren necesariamente de la marcación de líneas rectas internas imaginarias. En el círculo, tal como sucede en la circunferencia, no existen, por lo tanto, los vértices.

Teniendo como base el circulo, podemos encontrar los siguientes, con ejemplos realizados en GeoGebra:

Circunferencia: Es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto llamado centro.

Cuerda: Es el segmento determinado por dos punto de la circunferencia .

Arco: Es una porción de la circunferencia.

Diámetro de una circunferencia: Es toda la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Radio de una circunferencia: Es la mitad del diámetro.

Segmento circular: Es una porción que se limita por una cuerda y un arco correspondientemente.

Sector circular: Es la parte del círculo limitada por dos radios y un arco comprendido. 

Corona circular: es la superficie plana comprendida entre dos circunferencias concéntricas

La diferencia es que la circunferencia es el conjunto de los puntos de un plano que equidistan de otro punto llamado centro, por el contario el circulo es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a la misma.

En los círculos podemos encontrar diferentes tipos de ángulos como:

Ángulo central: Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.

Ángulo semi-inscrito: es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y uno de sus lados es una tangente y el otro una secante.

Ángulo corolario: Todos los ángulos inscritos en el mismo arco son iguales. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Las fórmulas que utilizamos en el círculo son:

Les comparto un video referente a las partes del circulo:

  !!!  video sobre el circulo   !!!

Sopa de letras referente a las partes del círculo

Bibliografía:

Baldor, J. A. (2004). Geometría plana y del Espacio y Trigonometría. Obtenido de file:///C:/Users/Sistema/Desktop/Tercer%20Semestre/GEOMETRIA%20PLANA/baldor-trigonometria-cada.pdf

Bembibre, C. (13 de junio de 2012). Círculo. Obtenido de https://www.definicionabc.com/ciencia/circulo.php

Universo Fórmulas . (2017). Obtenido de http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/circulo/

la sección cónica llamada parábola, esta descrita por un plano que interseca un cono, su tamaño varía según el ángulo de inclinación.

A continuación, dejo un link en donde se muestra la sección cónica y se puede interactuar con ella.

!!!!!!parabola!!!!!!       link de la parabola.

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco y de una recta fija del mismo plano llamada directriz.

es decir, que la distancia que hay de un punto de la parábola al foco es igual a la distancia de ese mismo punto a la directriz.

en la medida en que el foco y la directriz se separan, la parábola se vuelve más abierta.

elementos de la parabola

Foco: es el punto fijo denominado F

Directriz: es la recta perpendicular a la apertura de la parábola

Eje de simetria: es le recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz.

Vértice: es el punto medio de la recta existente entre el foco y la directriz, es donde nace la apertura de la parábola.

Lado recto: cuerda que pasa por el foco y es paralelo a la directriz.

ecuacion canonica de la parabola

la ecuación canónica de la parábola depende de la posición de la parábola.

si la parábola tiene su eje de simetría horizontal, se dice que es una parábola horizontal.

si el eje de simetría es vertical, se dice que la parábola es vertical.

para poder encontrar los elementos de la ecuación canónica debemos saber lo siguiente:

La ecuación tiene dos binomios. Uno es (x-h) y el otro es (y-k). uno de ellos esta elevado al cuadrado y el otro no.

El binomio que no está elevado al cuadrado define el eje del plano cartesiano el cual es paralelo al eje de simetría. Es decir:

Si  (x-h)^2  entonces la parábola abrirá hacia arriba o hacia abajo.

si  (y-k)^2  entonces la parábola abrirá hacia la derecha o hacia la izquierda.

por otra parte, el signo de 4p define el sentido a donde se abre: cuando es -4p se abre en sentido negativos, o sea abajo o a la izquierda, y cuando es 4p se abre hacia arriba o a la derecha.

resumiendo:

esta ecuacion tiene (x-h)^2   y  4p positivo, por tanto habre hacia arriba.

esta ecuacion tiene (y-k)^2   y   4p positivo: por tanto habre hacia la derecha.

esta ecuacion tiene (x-h)^2   y  -4p negativo, por tanto habre hacia abajo

esta ecuacion tiene (y-k)^2   y   -4p negativo: por tanto habre hacia la izquierda.

ecuacion general de la parabola

Se obtiene despejando las variables y organizándolas de mayor grado a menor grado, igualando la ecuación a cero. Entonces quedara una ecuación de la siguiente forma:

Ax 2 + Bx + Cy + D = 0

podemos representar la parabola en cualquiera de sus dos ecuaciones, asi mismo podemos transformar una ecuacion canonica en general y de general a canonica.

dejo un link de un tutorial donde explican como transformar una ecuacion en otra.

tutorial para aprender a transformar una ecuacion canonica en ecuacion general

tutorail para aprender a transformar una ecuacion general en ecuacion canonica

vertices

su vertice se encuentra analizando el valor h y el valor k.

el vertice es el punto (h,k)

ACTIVIDAD

adicionalmente dejo una sopa de letras con los elementos de la parabola, son 5 palabras que deben encontrar.

link de sopa de letras: sopa de letras de los elementos de la parabola


fuentes:
Parábola. (s.f.). Obtenido de http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/parabola

Parábola. (2011). Obtenido de http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/parabola.html